M1 : Cours du 4 mai 2006. Les déplacements virtuels

Ce texte ne reprend qu'une partie de ce qui a été dit en séance et présente certains éléments qui n'ont pas été développés.

L'étude du plan incliné conduit à examiner conjointement les forces et les déplacements. Mach peut ainsi exposer très rapidement une intuition galiléenne (p. 54) selon laquelle dans le dispositif du plan incliné le produits des poids et des distances avant et après un déplacement sont égaux lorsque les poids demeurent à l'équilibre dans ces deux états. C'est là une conséquence du fait que les conditions de l'équilibre sont, pour un système de deux poids, "déterminés par leurs rapprochements et leurs éloignements possibles du centre de la Terre". Autrement dit Galilée inscrit le principe général de l'équilibre dans un contexte de pesanteur égale pour tous les corps.

Une série de déplacements possibles ne modifient donc en rien l'équilibre du système, qui conserve cette propriété après qu'on lui ait appliqué un certain nombre de déplacements virtuels. Ce concept, si important dans le développement ultérieur de la mécanique, se trouve donc rattaché, dans la construction historique de Mach, à l'énoncé du principe de l'équilibre chez Stévin :

"(...) dans un système de poulies en équilibre, les produits de chacun des poids par les grandeurs de leurs déplacements respectifs sont égaux (Ut spatium agentis ad spatium patientis, sic potentia patientis ad potentiam agentis. Stévin, Hypomnemata, t. IV, lib. 3, p. 172)".

Il existe donc un certain ensemble de positions pour lesquelles le bilan des produits qui sont tirés des chemins et des forces (les poids) concervent l'équilibre. On comprend dès lors la remarque de Mach, qui fait de ce principe l'élément à partir duquel peut être déduit le "principe des déplacements virtuels", puisque précisément la détermination de l'ensemble de ces déplacements possibles est aussi immédiatement la mesure de tous les cas où la somme des forces et la somme des moments des forces sont toutes deux nulles : ce sont les conditions mêmes de l'équilibre.

Nous sommes reconduits au plan incliné qui est un système de deux corps liés par un équilibre. Galilée constate que si

alors ABC est un triangle tel que lorsque P descend de h (vertical), Q (plan) remonte de la même distance h, soit en termes de hauteur

On a alors, selon la règle de Stévin selon laquelle le déplacement est la valeur de la hauteur, c'est-à-dire un potentiel :

Le facteur ½ n'est autre que la valeur du sinus de l'angle en A dans un triangle rectangle, qui est l'exemple particulier choisi par Mach comme par Galilée.

Dans le Dialogo, Le point T est introduit comme celui où le mobile parti en A parvient en un temps t qui a suffi pour que CB soit parcouru intégralement (cf. le cours sur le plan incliné).

Autrement dit, pour utiliser une analogie avec la statique, le segment CT mesure l’impeto d’un mobile sur la pente CA par rapport à l’impeto d’un mobile sur la pente CB : son impeto c’est-à-dire son « talento », sa « force », que l’on peut placer dans une analogie éclairante avec son poids (cf Stevin). Et le mobile atteint T sur CA lorsqu’un autre aura atteint B dans le même temps.

Mach évoque rapidement l'interprétation et l'usage par Torricelli du "principe de Galilée" modifié de telle sorte qu'il concerne non plus les éléments d'un système, mais leur centre de gravité commun. L'étude du mouvement du centre de gravité, dont Huygens donnera les règles générales en 1673 dans l'Horologium oscillatorium, revient à l'étude de l'ensemble des parties d'un système de corps liés. Si le centre de gravité est au repos, le système de corps dont il est le centre de masse est de facto en équilibre. Un raisonnement rapide montre que l'équilibre, dans le cas galiléen du plan incliné, est déterminé par la valeur du sinus de l'angle formé par le plan incliné.

L'intervention d'un sinus indique seulement que ce sont ici des déplacements longitudinaux qui sont transformés en leur valeur de déplacement vertical : de quelle hauteur le poids Q s'est-il déplacé? Le principe de Torricelli est en fait plus précis : il indique en effet les conditions d'équilibre mais il affirme surtout, dans l'étude des systèmes en mouvement tels que les pendules, qu'un centre de gravité ne peut s'élever plus haut qu'il n'est parti. Dans les machines, le centre de gravité commun ne peut donc s'élever au-dessus de sa hauteur initiale qu'à la suite de l'adjonction d'une force extérieure : il n'y a pas de mouvement perpétuel.

Galilée/Torricelli transforment donc l'approche statique de Stévin en une approche dynamique, dans la mesure où d'une part le fait de la gravité s'insère dans les conditions de l'équilibre, et d'autre part (mais les deux sont liés) dans la mesure où ce qui compte désormais dans l'examen du déplacement, ce sont les trajets verticaux évalués par la distance au centre de la Terre, autrement dit : les chutes liées à des caractéristiques de vitesse et d'accélération. Ainsi l'examen du déplacement virtuel d'un corps revient à l'examen d'une hauteur virtuelle de chute, ce dont nous connaissons, d'après la cinématique galiléenne, l'affinité avec un paramètre décisif : le carré de la vitesse virtuellement acquise. Ainsi, bien avant que ne se déploir la querelle des forces vives, nous pouvons comprendre avec Mach que la statique conduit inéluctablement à l'examen des forces qui se contrebalancent dans l'état d'équilibre, et que ces forces sont évaluées par un paramètre commun : la hauteur de chute. Pour que deux corps soient en équilibre il faut que leurs poids soient dans un rapport déterminé par leurs hauteurs de chute. Un autre angle du plan incliné modifie les caractéristiques dynamiques de l'équilibre. L'exemple du treuil, qui fait appartient au genre de la poulie et où le déséquilibre est traduit par une rotation, fait apparaître une condition générale de l'équilibre :

R et r étant les rayons (cf p. 29), la condition atteint la généralité recherchée et se présente comme étant de même mature que celle qui touche au plan incliné.

Dans le §5 (p. 56) Mach tire la conséquence générale de ce passage à la considération des hauteurs de chute. Il attribue à Galilée, directement, la compréhension d'une caractéristique générale de l'équilibre. Le geste galiléen consiste dans le fait de porter l'attention sur les hauteurs de chute putôt que sur les paramètres ordinaires, linéaires, du déplacement. Une formule générale associe alors les poids (P, P', P" …) et les hauteurs (h, h', h") entendues pour chaque élément du système lié :

Tout d'abord, Mach distingue deux cas (l'équilibre et le mouvement) par la considération de la "cause déterminante" par laquelle la négation de l'équilibre advient. Notons au passage que c'est bien l'équilibre qui va ici servir de point de départ pour l'analyse du mouvement. Le renversement de la mécanique - comme étude du mouvement- en statique est en quelque sorte pré-constituée dans cette manière de comprendre des textes dont aurait peine à trouver la trace chez Galilée. Tout se passe comme si les penseurs de l'école galiléenne au sens large étaient partis de l'étude de l'équilibre des graves pour déduire, in fine, les règles du mouvement. L'équilibre ne saurait donc être posé comme un cas-limite du mouvement. C'est au contraire le mouvement qui se présente comme un équilibre rompu. A bien des égards, il s'agit d'une lecture rétrospective de l'histoire de la mécanique, lecture nourrie par le développement ultérieur du théorème de d'Alembert et du concept de travail virtuel d'une force chez Lagrange.

§6 La reconstitution historique du développement de la mécanique conduit ici Mach à évoquer, sans 'y arrêter, l'important concept de "travail" d'une force comme horizon distant, dans le temps, de ce qu'il pense trouver déjà chez Galilée. Or il est assez aisé de montrer que chez Galilée du moins la considération du mouvement est première. Le modèle théorique qui structure les Discorsi, c'est le pendule qui oscille, c'est-à-dire, bien moins que l'étude d'une force (dont Galilée ne donne aucune définition ou évaluation) et des conditions de sa neutralisation en une cessation du mouvement, l'analyse des propriétés dynamiques variées de la chute des corps par mouvement et accélération. De la même façon, la notion de travail d'une force, anachroniquement appliquée à l'étude par Galilée des conditions de déplacement variés sur un plan incliné, suppose que soit acquise l'équivalence entre un déplacement, une traction et une dépense de type énergétique.

En déplaçant le regard depuis les distances à l'axe de rotation ou de suspension vers les hauteurs de chute, Galilée avait en vue la question de la chute des corps et son application à l'étude du pendule. Mach fait de cette décision le passage de la considération du moment statique comme cause prépondérante à la prise en compte du travail comme ce qui est, dans un système de corps, la cause de l'équilibre ou de sa rupture. Cett eremarque est assortie d'une observation relative aux choix des causes prépondérantes : ce choix ne peut relever, dit Mach, que de l'expérience seule : ni le moment statique ni au fond le travail ne sont des concepts qui peuvent acquérir le statut de propositions analytiques établies par elles-mêmes : leur origine est dans les corps et repose donc sur une observation qui seule permet au mécanicien d'opérer un tri entre les causes du mouvement et de l'équilibre.

La remarque est importante : aussi rationnelle soit-elle la mécanique repose en son fond sur l'expérience des corps (cf la critique de Pascal : la proposition n'est fautive que dans la mesure où elle tend à faire passer l'équivalence de Stévin pour un prncipe logique ou pour une vérité nécessaire, alors qu'elle implique la reconnaissance d'un principe et d'une décision contingentes : reconnaître la prépondérence du travail des forces dans l'ordre des phénomènes naturels). La rationalisation ne peut donc être qu'incomplète et suppose toujours un rapport déterminé aux hypothèses empiriques les plus efficaces.

§7 L'exemple numérique du treuil montre des déplacements fins, terme à terme, qui ne rompent pas l'équilibre, c'est-à-dire des cas où les poids, en raison inverse des déplacements q'on leur fait simultanément subir, ne modifient pas l'état mécanique du système. Cet exemple porte l'attention sur le moment statique et conduit à faire admettre une généralisation fondée seulement sur le rapport conservé en permanence entre le poids et la distance. Mais Mach montre immédiatement l'existence d'une présupposition plus profonde que celle qui associe simplement les opérations de déplacement. On suppose au fond que l'action est la même à chaque modification de l'état du système, ce qui signifie simplement "l'équivalence de l'ordre des opérations et des chemins de transport", c'est-à-dire au fond : la prééminence du travail. On en revient encore à la nécessité de poser les opérations de la mécanique comme relevant d'une décision physique et non pas d'un simple raisonnement analytique sur des opérations impliquant des paramètres algébriques (P et h) indifférents. On ne construit pas l'équilibre, malgré les apparences, comme on traite des opérations élémentaires des objets mathématiques : une décision doit être prise au préalable, tout comme Archimède présupposait l'existence du moment statique dans l'étude du levier, mais croyait poursuivre au fond un ordre d'opérations et de démonstrations a priori (p. 21).

§8
Lagrange

Principe des vitesses virtuelles :

Si un système de corps de tant de corps ou de points que l’on veut, tirés chacun par des puissances quelconques, est en équilibre, et qu’on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances multipliée chacune par l’espace que le point où elle est est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances, et comme négatifs les espaces parcourus en un sens opposé.

Mécanique analytique, Paris : 1788, ch. 17

P, Q, R les puissances.
p, q, r les lignes droites dans les directions de ces puissances.
dp, dq, dr les variations de ces lignes résultant d’un mouvement quelconque.

Les différences dp, dq, dr sont proportionnelles aux vitesses virtuelles ds puissances P, Q, R

Si P et Q sont en équilibre, les quantités P et Q sont en raison inverses des différencielles dp et dq
Soit :

ou

Lagrange peut alors introduire des formes différentielles canoniques en associant une masse et les forces qui lui sont appliquées selon (x, y, z) :

Si l'on applique ces forces à l'ensemble du système matériel leur somme est :

Dans cette expression "∂x" est la caractéristique de la variation liée aux déplacements virtuels. A ces forces appliquées doivent répondre, pour établir l'équilibre, des forces agisant au sein du système impliquant les puissances (P, Q, R) et les variations en ligne induites par le principe des déplacements virtuels :

S'il est exact que la dynamique naissante se résoudra dans l'étude abstraite des forces de liaison dans la Mécanique analytique de Lagrange, nous voyons apparaître ici l'un des traits principaux de l'analyse machienne : recomprendre les concepts historiques en les vidant des scories de leur propre processus d'invention.

Complément : lettre de J. Bernoulli à Varignon du 26 janvier 1717.

Concevez plusieurs forces différentes qui agissent suivant différentes tendances ou directions pour tenir en équilibre n point, une ligne, une surface ou un corps. Concevez aussi que l'on imprime à tout le système de ces forces un petit mouvement, soit parallèle à soi-même suivant une direction quelconque, soit autour d'un point fixe quelconque; il vous sera aisé de comprendre que par ce mouvement chacune de ces forces avancera ou reculera dans sa direction, à moins que quelqu'une ou plusieurs des forces n'aient leur tendance perpendiculaire à celle du petit mouvement; auquel cas cette force ou ces forces n'avanceraient ni ne reculeraient de rien: car ces avancements ou reculements qui sont ce que j'appelle vitesses virtuelles ne sont autre chose que ce dont chaque ligne de tendance augmente ou diminue par le petit mouvement; et ces augmentations ou diminutions se trouvent si l'on tire une perpendiculaire à l'extrémité de la ligne de tendance de quelque force, laquelle perpendiculaire retranchera de la même ligne de tendance, mise dans la situation voisine par le petit mouvement, une petite partie qui sera la mesure de la vitesse virtuelle de cette force.

Soient, par exemple P un point quelconque dans le système qui se soutienne en équilibre; F une de ces forces, qui pousse ou qui tire le point P dans la direction FP ou PF; Pp une petite ligne droite' que décrit le point P par un petit mouvement, par lequel la tendance FP prend la situation fp, qui sera ou exactement parallèle à FP si le petit mouvement dti système se fait en tous ses points parallèlement à une droite donnée de position; ou elle fera, étant prolongée, avec FP un angle infiniment petit; si le petit mouvement du système se fait autour d'un point fixe. Tirez donc PC perpendiculaire sur fp et vous alirez Cp pour la vitesse virtuelle
de la force F, en sorte que F x Cp fait ce que j'appelle énergie.
Remarquez que Cp est ou affirmatif ou négatif: il est affirmatif si le point P est poussé par le force F et que l'angle FPp soit obtus; il est négatif si l'angle FPp est aigu; mais au contraire si le point P est tiré, Cp sera négatif lorsque l'angle FPp est obtus et affirmatif lorsqu'il est aigu. Tout cela étant bien entendu, je forme cette proposition générale:

En tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière qu'elles soient appliquées, et suivant quelques directions qu'elles agissent les unes sur les autres, ou médiatement ou immédiatement, la somme des énergies affirmatives sera égale à la somme des énergies négatives prises affirmativement.