L'étude des plans inclinés consacre une avancée majeure dans l'établissement des règles du mouvement placé sous la dépendance des propriétés physiques de la pesanteur. C'est Simon Stevin (1548-1620) qui propose le premier une application élégante des règles de l'équilibre par interposition de plans diversement inclinés.
Se fondant sur l'impossibilité du mouvement perpétuel, il déduit la position d'équilibre d'une chaîne théorique de boules qui roulent librement, une fois enchaînées les unes aux autres. Le dispositif est composé des plans L1 et L2 qui suggèrent visuellement que les poids sont contrebalancés selon les rapports des longueurs elles-mêmes. C'est une reprise du principe du levier et une application des lois du moment des forces dans la mesure où dans le levier la force produite (ici le poids soutenu) était multiplié en fonction de la distance au point d'application.
En utilisant la loi du mouvement accéléré, dont Duhem voyait déjà une anticipation dans certaines propositions de D. de Soto, un scolastique tardif, et manipulant des durées de chute liées à l'inclinaison des plans, c'est-à-dire aussi à leur longueur, Galilée est à même de démontrer un résultat important : la vitesse atteinte à la fin d'une chute est proportionnelle à deux paramètre : l'accélération et le temps. Cette dernière durée est proportionnelle à la longueur du plan incliné, comme on vient de le voir. L'accélération étant liée à l'inclinaison, c'est-à-dire à la longueur du plan, il se produit une compensation exacte entre l'augmentation des vitesses (inversement proportionnelle à la longueur : plus le trajet est court, plus le mouvement passe avec célérité dans tous les degrés de vitesse) et les positions différemment inclinées de ce plan. Si bien qu'il est possible de considérer que la vitesse finale d'une chute sur un plan est strictement indépendante de la longueur, mais est liée seulement à la heuteur de chute : les corps, quels que soient les inclinations du plan, passent par les mêmes degrés de vitesse aux mêmes hauteurs.
Cela est acquis dans le Dialogue lui-même, au prix d'efforts et de digressions dont la sécheresse du texte de Mach ne rend pas compte.
Le premier moment de cette avancée dans les lois du mouvement contient l’objection suivante : pourquoi la nature ne donne-t-elle pas aux corps qui sont en leur lieu propre une vitesse déterminée ? Salviati répond en assignant à la nature un comportement observé qui, de fait, fait passer les corps par tous les degrés de vitesse ou de lenteur.
SALV. Io non ho detto, né ardirei di dire, che alla natura e a Dio fusse impossibile il conferir quella velocità, che voi dite, immediatamente; ma dirò bene che de facto la natura non lo fa; talché il farlo verrebbe ad esser operazione fuora del corso naturale e però miracolosa.[fin 45]
SALV. Je n'ai pas dit, et ne m'aventurerai pas à dire, qu'il fût impossible à la nature et à Dieu de communiquer instantanément cette vitesse dont vous parlez; mais je dirai plutôt qu'il est de fait que la nature ne le fait pas; de sorte que si elle venait à le faire, cela apparaîtrait comme une opération hors du cours de la nature et par là miraculeuse."
Mais peu satisfait sans doute de cettte réponse dogmatique qui se fonde dans l’affirmation d’une action propre au cours ordinaire de la nature, sorte d’argument factuel, Galilée rajoute dans les marges de son exemplaire original :
Muovasi con qual si voglia velocità qual si sia poderosissimo mobile, ed incontri qualsivoglia corpo costituito in quiete, ben che debolissimo e di minima resistenza; quel mobile, incontrandolo, già mai non gli conferirà immediatamente la sua velocità: segno evidente di che ne è il sentirsi il suono della percossa, il quale non si sentirebbe, o per dir meglio non sarebbe, se il corpo che stava in quiete ricevesse, nell'arrivo del mobile, la medesima velocità di quello.
[46-marges]
Qu'un mobile se atteigne la vitesse qu'on voudra, fût-il très pesant et qu'en face un corps quelconque, même le plus ténu et offrant le moins de résistance, soit tenu au repos; ce mobile, le heurtant, ne lui transmettra jamais instantanément sa vitesse : le signe évident de cela est le fait que nous percevons le son de la percussion, lequel ne pourrait être perçu, ou mieux : n'existerait pas si le corps qui était au repos recevait, à l'arrivée du mobile, la même vitesse que lui."
C’est par l’examen rationnel du choc que se trouve donc confirmée l’hypothèse d’une variation continue de l’état de mouvement d’un corps : l’impulsion n’est jamais instantanée et la force prend du temps pour se transmettre. L’effet observable, l’égalisation des vitesses, est repéré dans la perception du son émis par la percussion. Autant d’indications précieuses, qui seront contestées par Huygens dans son analyse du choc des corps.
Afin de rendre pensable cette continuité de l’accélération, Salviati met en avant l’infinitisation même de l’écoulement du temps :
SALV. io vi replico che il mobile passa per i detti gradi, ma il passaggio è fatto senza dimorare in veruno, talché, non ricercando il passaggio piú di un solo instante di tempo, e contenendo qualsivoglia piccol tempo infiniti instanti, non ce ne mancheranno per assegnare il suo a ciascheduno de gl'infiniti gradi di tardità, e sia il tempo quanto si voglia breve. [46]
SALV. je vous réponds que le mobile passe par les dits degrés, mais le passage s'effectue sans un arrêt en aucun d'eux, si bien que, ce passage n'exigeant pas plus qu'un instant de temps, et chaque temps, aussi petit qu'on voudra, contenant une des instant en nombre infini [infiniti instanti], nous n'en manquerons pas pour assigner le sien à chacun des degrés infinis de lenteur, bien que l'on prenne le temps aussi petit que l'on voudra."
La plus grande difficulté dans l’analyse du mouvement consiste à penser la notion d’une vitesse dans l’instant[1], pour laquelle il n’existe pas de concept approprié de temps, pas plus qu’il n’existe d’expérience fiable de mesure. Mais la tradition critique d’Aristote a introduit un concept de vitesse instantanée qui correspond à l’intensification ponctuelle d’une qualité dans le corps mobile (intensio velocitatis ou gradus velocitatis ou velocitas instantanea ou intensio motus). Les termes de l’Ecole sont ceux là mêmes qui sont utilisés par Galilée (gradi), renforçant, d’une certaine manière, le sentiment d’un approfondissement des notions et notations médiévales. Car après avoir exposé le concept théorique d’un continu spatial et temporel, Galilée précise en quel sens il entend physiquement l’appliquer à une progression naturelle, celle de la chute des corps. Il en expose le principe :
Però ditemi se voi avete difficultà nessuna in concedere che quella palla, nello scendere, vadia sempre aquistando maggior impeto e velocità. [fin 46]
Mais dites moi si vous avez une difficulté quelconque à admettre que que ce boulet, en descendant, va en acquérant toujours plus d'impetus et de vitesse?"
Le terme essentiel d’impeto apparaît ici. La traduction française donne le mot « élan », qui est acceptable même si elle se surimpose à une tradition vigoureuse, celle de l’impetus. Dans quelle mesure Galilée emprunte-t-il ici à cette tradition ?
En ce qui concerne l'impetus, Aristote, en vertu du principe énoncé en Physique VII, 1, 241 et suiv, affirme que tout ce qui se meut est mu par quelque chose. Comment dès lors expliquer la persistence ou, mieux, la conservation du mouvement des projectiles ? Pour remédier à cette difficulté Aristote (Physique VIII, 266b) imagine un certain rôle moteur de l’ambiant (antiperistasis). Mais dans ce contexte, l’idée même d’une accélération des corps dans la chute libre pose problème car comment la cause motrice du mouvement peut-elle varier avec la distance parcourue ? Elle doit cependant le faire puisque la vitesse, effet de cette cause, augmente d’une façon évidente, jusqu’à un certain point.
Hipparque a, selon Simplicius, levé cette difficulté en supposant qu’une force est imprimée dans le corps par le moteur, capable de variation et dont la puisqance propre se retranche dans le temps, à celle de l’inclination naturelle de tout corps vers le centre. Ainsi le corps s’élève lorsque la force imprimée est supérieure à la pesanteur, il chute lorsque le rapport s’inverse. Mais continuant alors à actualiser ses effets propres, il retarde, à chaque instant d’un degré moindre que le suivant, la vitesse de chute, qui a dès lors un caractère uniformément accéléré.
Dans le mobile s’exercent dont un rapport de causes motrices dont l’effet se décompose en vitesse et en direction du mouvement. On peut supposer que ce raisonnement touche les mouvement verticaux, mais il pourrait s’appliquer identiquement aux mouvements obliques et aux mouvements de jets, qui partent horizontalement.
Jean Philopon, VIe s. ap. JC, reprend pour l’essentiel cette doctrine. Au XIVe siècle, Buridan oppose à l’extinction naturelle de la force imprimée, un impetus dont l’épuisement ne se produit qu’à travers l’obstacle du milieu et de la grandeur propre du mobile. L’impetus se mesure roportionnellement au poids et à la vitesse du mobile. Ainsi un corps qui augmente sa vitesse dans la chute augmente aussi son impetus, ce dernier étant alors l’effet de la vitesse et aussi, dans une certaine mesure, sa cause, puisqu’il est posé comme inclination au mouvement, action au sein du mobile.
De ces deux traditions, laquelle, si vraiment Galilée a été inspiré par ses lectures, est-elle celle du Dialogue ? Comme le rappelle Maurice Clavelin
[2], l’impetus est toujours, dans les textes de la maturité galiléenne, un effet simple de l’augmentation de la vitesse : c’est un sens inertiel.
Ainsi dans notre texte, impeto
et velocità augmentent à même proportion. L’impeto
n’est pas la cause de la variation de vitesse, mais plutôt, comme le suggère la note marginale, la quantité de force dont un corps est capable dans le choc.
[46] Sagredo : une pierre passe-t-elle vraiment par tous les degrés de vitesse ? Toute la réponse de Salviati, jusqu’en [51], tient dans l’analyse d’un paradoxe de l’infini appliqué à la loi de progression uniforme sur des plans inclinés diversement.
Cf Kant, Préface à la Seconde édition de la Critique de la raison pure.
1) un corps en chute acquiert un certain impeto qui est proportionnel à la hauteur de chute (expérience mentale de la Terre trouée, du pendule simple).
2) [47]
E perch'io so che non avete dubbio in conceder che l'acquisto dell'impeto sia mediante l'allontanamento dal termine donde il mobile si parte, e l'avvicinamento al centro dove tende il suo moto, arete voi difficultà nel concedere che due mobili eguali, ancorché scendenti per diverse linee, senza veruno impedimento, facciano acquisto d'impeti eguali, tuttavolta che l'avvicinamento al centro sia eguale? [47]
Comme je sais que vous n'aurez aucun doute à admettre que l'acquisition d'impetus se fait en proportion de l'éloignement du lieu où est parti le mobile et de la distance par rapport au centre vers lequel tens son mouvement, aurez-vous des difficultés à admettre que deux mobiles égaux, bien que chutant selon des trajectoires différentes, sans aucun empêchement, acquièrent des impeti égaux tant que leur rapprochement du centre demeure égal?"
Impeti eguali=avvicinamiento eguale : il faut comprendre que C est à la même hauteur, quelle que soit le plan suivi pour la chute, de C en B ou de C en A.
L’impeto s’augmente en fonction de deux critères : l’éloignement edu point de chute et le rapprochement du point d’arrivée. Or il n’y a qu’une façon de rendre ce principe universel : c’est de considérer que ce qui mesure la distance entre ces deux points n’est pas la distance parcourue, mais la hauteur de chute. En effet l’application de la préférence aristotélicienne pour l’accroissement des vitesses par untés d’espaces parcourus (erreur de 1604) est ici contournée : les impeti égaux s’acquièrent sur des hauteurs de chute égales, quelle que soit l’inclinaison de la planche.
Il y a en effet autant de lignes transversales de niveaux qui interceptent CA qu’il y a de telles lignes qui interceptent CB : paradoxe de l’infini.
Les manuscrits de Galilée montrent que cette question était centrale dans l'élaboration des principes du mouvement. Et on reconnaît dans le latin les concepts de degrés de vitesse et de tardité qui sont au cœur de l'entreprise ultérieure.
Et quia velocitas semper intenditur pro ratione elongationis a termino a, constat, in latione ab tot esse velocitatis gradus, seu momenta, diversa, quot sunt in eadem linea ab puncta magis ac magis a termino adistantia; quibus totidem in linea ac respendent [respondent], et per parallelas lineas determinantur, in quibus iidem sunt gradus velocitatis. [MS 72, fol. 179r]
L’argument se trouve réarrangé ainsi dans les Discorsi (EN VIII, 205):
Accipio, gradus velocitatis eiusdem mobilis super diversas planorum inclinationes acquisitos tunc esse aequales, cum eorumdem planorum elevationes aequales sint.
Chiama la elevazione di un piano inclinato la perpendicolare che dal termine sublime di esso piano casca sopra la linea orizontale prodotta per l'infimo termine di esso piano n clinato; come, per intelligenza, essendo la linea AB parallela all'orizonte, sopra 'l quale siano inclinati li due piani CA, CD, la perpendicolare CB, cadente sopra l'orizontale BA, chima l'Autore la elevazione de i piani CA, CD; e suppone {20} che i gradi di velocità del medesimo mobile scendente per li piani inclinati CA, CD, acquistati ne i termini A, D, siano eguali, per esser la loro elevazione l'istessa CB: e tanto anco si deve intendere il grado di velocità che il medesimo cadente dal punto C sarebbe nel termine B.
Salviati n’apporte pas de démonstration en règle et Sagredo, comme Simplicio, n’admettent pas que Vca et Vcb puissent être égales.
Fin [49] Sagredo rappelle le principe. Deux vitesses sont égales ssi elles donnent des rapports d’espaces parcourus et de temps mis à les parcourir, égaux.
Sagredo expose ainsi sa réticence à concevoir l’égalité des vitesses finales puisque le mouvement sur CB semble à l’évidence plus véloce que celui, oblique, sur CA.
Simplicio ajoute que si en un temps donné un corps descend CB, alors il parcourrait, dans le même temps, une distance plus courte que CA, ce qui est exact.
Sagredo rappelle que si sa définition précédente pouvait s’appliquer, elle donnerait :
Mais puisque le mouvement est plus véloce sur la verticale, ce rapport n’apparaît pas conforme. Selon Salviati la difficulté sera levée lorsque l’on aura pris garde à la nature accélérée du mouvement, c’est-à-dire lorsque l’on aura cessé de le penser comme l’expression d’un déplacement moyen, donnant une vitesse moyenne. Il est possible de trouver sur l’oblique des segments parcourus de façon plus véloce que certains des segments verticaux. Il suffit de choisir les bons segments.
[49-50] La tirade de Salviati va rendre compte de la possibilité de penser l’égalité donnée par Sagredo/ Il ne s’agit pas d’une démonstration en forme, mais d’un raisonnement dégageant les conditions de possibilité d’une telle égalité, sans préjuger encore de ce qu’il peut en être dans l’exemple unique proposé par Salviati. Il n’est possible d’affirmer que le mouvement sur CB est le plus véloce que sous réserve de choisir le même point d’origine, A, avec deux mobiles ayant en commun leur départ depuis le repos. En outre sur la figure il serait aisé de construire des rapports de temps et d’espaces tels que :
ou
Le point T est introduit comme celui où le mobile parti en A parvient en un temps t qui a suffi pour que CB soit parcouru intégralement.
La justification sommaire ( et Cbt>Tct) ne précise pas quelle est l’origine du point T, obtenu par la construction d’un triangle rectangle BTC. Si donc les rapports peuvent varier sur des portions bien choisies de la figure, on peut admettre qu’il y a bien des portions où ces rapports sont égaux.
Sagredo accorde par la suite cette possibilité, mais il désire en savoir plus et veut que Salviati lui démontre l’égalité .
[51] Spectaculaire fin d’argumentation : Salviati renvoie aux travaux même de Galilée sur le mouvement : la référence semble indiquer soit que Galilée travaille déjà aux Discorsi, soit qu’il fait référence aux manuscrits padouans dont certains passages auraient été communiqués aux Lincei ainsi qu’à d’autres cercles (Ridotto Morosini de Venise par exemple).
Les triangles ABD et BTC sont semblables. Si donc on peut démontrer une propriété pour T, celle ci vaut par construction pour A.
En fait la démonstration de l’égalité des vitesses au terme de la chute aura lieu dans les Discorsi, III, th. III, Prop. III
[3]. On trouve chez Torricelli la prise en compte de cette construction comme étant l’énoncé d’un principe.
CTB est rectangle en T et par construction CA, CB et CT sont en proportion continue.
On a :
Autrement dit, pour utiliser une analogie avec la statique, le segment CT mesure l’impeto d’un mobile sur la pente CA par rapport à l’impeto d’un mobile sur la pente CB : son impeto c’est-à-dire son « talento », sa « force », que l’on peut placer dans une analogie éclairante avec son poids (cf Stevin). Et le mobile atteint T sur CA lorsqu’un autre aura atteint B dans le même temps.
Galilée renvoie à un autre lieu la démonstration complète, car il ne suppose pas dans ses interlocuteurs la faculté de comprendre, déjà, une démonstration en forme.
Salviati met en avant une autre propriété du mouvement, qui peut se résumer à l’expression du théorème dit du degré moyen, que l’on trouve chez Oresme et chez tous les Mertoniens (Discorsi, Th. 16). Mais ces variations, qui confinent à des expériences de pensée sur le mouvement, se font aussi dans le sens de la tardité : Salviati évoque ainsi le cas limite d’une lenteur infinie (qui prouve derechef la nécessité d’une analyse continue du mouvement) où l’impeto
ne s’augmente ni ne s’épuise dans le corps.
Possiamo dunque concludere che se è vero che, secondo il corso ordinario di natura, un mobile, rimossi tutti gl'impedimenti esterni ed accidentarii, si muova sopra piani inclinati con maggiore e maggior tardità secondo che l'inclinazione sarà minore, sí che finalmente la tardità si conduca a essere infinita, che è quando si finisce l'inclinazione e s'arriva al piano orizontale, e se è vero parimente che al grado di velocità acquistato in qualche punto del piano inclinato sia eguale quel grado di velocità che si trova avere il cadente per la perpendicolare nel punto segato da una parallela all'orizonte che passa per quel punto del piano inclinato; bisogna di necessità confessare che il cadente, partendosi dalla quiete, passa per tutti gl'infiniti gradi di tardità, e che, in conseguenza, per acquistar un determinato grado di velocità bisogna ch'e' si muova prima per linea retta, descendendo per breve o lungo spazio, secondo che la velocità da acquistarsi dovrà essere minore o maggiore, e secondo che 'l piano sul quale si scende sarà poco o molto inclinato: talché può darsi un piano con sí poca inclinazione, che, per acquistarvi quel tal grado di velocità, bisognasse prima muoversi per lunghissimo spazio ed in lunghissimo tempo; [fin 52]
Nous pouvons donc conclure que s'il est vrai que, suivant le cours ordinaire de la nature, un mobile, une fois ôtés tous les obstacles extérieurs et accidentels, se meut sur un plan incliné avec une lenteur plus grande à mesure qu'est moindre l'inclination, si bien que finalement sa lenteur devient infinie, lorsque l'inclination prend fin et devient un plan horizontal, et s'il est également vrai que le degré de vélocité acquis en n'impote quel point d'un plan incliné est égal au degré de vitesse que possède le corps qui chute par la perpendiculaire au à l'intersection de la ligne parallèle à l'horizon qui passe par ce point du plan incliné; il faut nécessairement poser que le corps qui chute, partant du repos, passe par tous les degrés infitinis de lenteur et que, par conséquent, pour acquérir un degré déterminé de vitesse, il faudra qu'en premier lieu il se meuve en ligne droite, chutant sur un espace court ou long, selon que la vitesse à acquérir devra être plus petite ou plus grande, et selon que le plan sur lequel se fait la chute sera plus ou moins incliné : de sorte qu'il est possible de se donner un plan avec si peu d'inclination que, pour acquérir tel degré de vitesse, il faudra en premier lieu se mouvoir sur une distance extrêmement longue, en un temps extrêmement long".
Le mobile, pour atteindre un degré déterminé de vitesse, doit vaincre l’infinie lenteur d’un plan sans inclinaison. Or ce mouvement conservé possède un équivalent dans la nature :
sí che nel piano orizontale qual si sia velocità non s'acquisterà naturalmente mai, avvenga che il mobile già mai non vi si muoverà. Ma il moto per la linea orizontale, che non è declive né elevata, è moto circolare intorno al centro: adunque il moto circolare non s'acquisterà mai naturalmente senza il moto retto precedente, ma bene, acquistato che e' si sia, si continuerà egli perpetuamente con velocità uniforme [53]
si bien que sur un plan horizontal une vitesse quelconque ne s'acquerra jamais naturellement, étant donné que le mobile ne voudra jamais se mouvoir. Mais le mouvement sur la ligne horizontale, qui ne s'abaisse ni ne s'élève, est le mouvement circulaire autour d'un centre : donc le mouvement circulaire ne s'acquerra jamais naturellement sans le mouvement droit qui le précède, mais assurément, une fois acquis, quel qu'il soit, il se conservera perpétuellement avec une vitesse uniforme.
L’inertie entrevue est donc le moteur du mouvement circulaire, le seul mouvement auquel s’applique une loi de conservation en nature. Le mouvement circulaire ne peut donc jamais commencer, car il est le produit d'une impulsion en ligne droite qui voit les obstacles extérieurs ou les tendances internes s'abolir : identique au repos, il est donc le véritable principe inertiel galiléen. Cette affirmation est évidemment solidaire d'une observation simple : les seuls mouvements qui se conservent en nature sont ceux des planètes. Il doit donc y avoir une raison pour qu'ils se conservent ainsi.
Cette affirmation est solidaire de deux autres :
-affirmation du rôle privilégié de certains lieux dans l'univers : les centres autour desquels s'organisent des mouvements conservés.
-affirmation du caractère libre du mouvement circulaire : les trajectoires de ces mobiles en révolution supposent la soustraction de tout obstacle, c'est-à-dire le vide.
[1] Pierre souffrin, « remarques sur l'histoire du concept de vitesse d'aristote à galilée », Revue d'histoire des sciences, 1992, n°2.
[2]Maurice Clavelin, La philosophie naturelle de Galilée, Paris, PUF, 1996 (1ère ed. 1968).
[3] TEOREMA 3. PROPOSIZIONE 3. Se un medesimo mobile si muove, a partire dalla quiete, su un piano inclinato e lungo una perpendicolare, che abbiano eguale altezza, i tempi dei moti staranno tra di loro come le lunghezze [rispettivamente] del piano e della perpendicolare.
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